Focusing on measure and integration theory, this textbook offers a concise introduction to the Lebesgue integral, crucial for analysis and stochastics. It covers essential topics and presents additional results that link to various mathematical fields. The structured material is designed for easy integration into diverse Bachelor programs, making it a versatile resource for students in mathematics.
In der modernen Stochastik werden Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gedacht. Damit macht dieses Lehrbuch Ernst, schon die Welt uniform verteilter Zufallsgrößen wird dann farbig. Das Konzept der Zufallsgrößen prägt den Aufbau des Buches. Es enthält neue Beispiele und dringt auf knappem Raum weit in das Rechnen mit Zufallsvariablen vor, ohne Techniken aus der Maß- und Integrationstheorie zu bemühen. Die wichtigsten diskreten und kontinuierlichen Verteilungen werden erklärt, und der Umgang mit Erwartungswert, Varianz und bedingten Verteilungen wird vermittelt. Der Text reicht bis zum Zentralen Grenzwertsatz (samt Beweis) und zu den Anfängen der Markovketten. Je ein Kapitel ist Ideen der Statistik und der Informationstheorie gewidmet. Damit liefert das Buch Orientierung und Material für verschiedene Varianten 2- oder 4-stündiger einführender Lehrveranstaltungen.
Klang und Musik bieten vielfältiges Material, um die Anwendbarkeit von Mathematik darzulegen. Im vorliegenden Buch haben wir die Mathematik auf dem Niveau eines Bachelorstudiums vor Augen. Die Themen aufseiten von Klang und Musik betreffen u.a. Tonleitern, Schallwellen in Streich- und Blasinstrumenten, Kugelwellen, Töne und Obertöne, schwingende biegesteife Saiten und schwingende Membrane, Impedanz und gekoppelte schwingende (Klavier)saiten. Die Akustik bietet Anlass und viel Stoff, um auf ganz unterschiedliche Themen aus der Mathematik einzugehen und exemplarisch die Anwendbarkeit von ganz elementarer wie fortgeschrittener Mathematik darzulegen. Themen aus der Mathematik sind u.a. Kettenbrücke, die Wellengleichung, Fourieranalyse, Besselfunktionen und Besselgleichung, das Verfahren der stationären Phase, die Diskriminante von Polynomen. Das Konzept ist in mehreren Vorlesungen erprobt: Stoff aus Analysisvorlesungen wird durch die anschaulichen Themen dieses Buches lebendig gemacht, gedacht ist dabei gerade auch an Lehramtstudierende.
In der modernen Stochastik werden Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gedacht. Damit macht dieses Lehrbuch Ernst, schon die Welt uniform verteilter Zufallsgrößen wird dann farbig. Das Konzept der Zufallsgrößen prägt den Aufbau des Buches. Es enthält neue Beispiele und dringt auf knappem Raum weit in das Rechnen mit Zufallsvariablen vor, ohne Techniken aus der Maß- und Integrationstheorie zu bemühen. Die wichtigsten diskreten und kontinuierlichen Verteilungen werden erklärt, und der Umgang mit Erwartungswert, Varianz und bedingten Verteilungen wird vermittelt. Der Text reicht bis zum Zentralen Grenzwertsatz (samt Beweis) und zu den Anfängen der Markovketten. Je ein Kapitel ist Ideen der Statistik und der Informationstheorie gewidmet. Die Neuauflage ist ergänzt durch einen Beweis des Starken Gesetzes der Großen Zahlen und durch weitere Übungsaufgaben. Das Buch liefert Orientierung und Material für verschiedene Varianten 2- oder 4-stündiger einführender Lehrveranstaltungen.
Dieses Lehrbuch behandelt stochastische Prozesse in der Zeit, eine Klasse mathematischer Modelle mit vielfältigen Anwendungen zur Erfassung von Zufallsphänomenen in ihrer zeitlichen Entwicklung. Der Fokus liegt auf mathematisch und anwendungsbezogen bedeutenden Themen. Ausgangspunkt ist die Theorie der bedingten Erwartungen und Martingale, die die Stochastik im 20. Jahrhundert prägte, orientiert an der Idee eines fairen Spiels. Markovketten hingegen beschreiben Entwicklungen, bei denen die zukünftige Verteilung nur vom gegenwärtigen Zustand abhängt. Bei den zeitkontinuierlichen Prozessen steht die Brownsche Bewegung im Vordergrund. Zusammen mit Poissonschen Punktprozessen und Lévyprozessen bildet sie eine Schnittstelle zwischen Martingalen und Markovprozessen. Ein abschließendes Kapitel behandelt zeitkontinuierliche Markovprozesse und deren Generatoren, einschließlich Fellerprozessen. Das Buch dient als Einführung in fortgeschrittene Themen wie stochastische Analysis und nutzt grundlegende Sätze aus der Maß- und Integrationstheorie, wobei die probabilistischen Aspekte im Vordergrund stehen. Es richtet sich an fortgeschrittene Bachelor- und einführende Masterstudierende der Mathematik.