Hans Hermes Knihy

The book explores the limitations of algorithms in mathematics, addressing whether certain problems are inherently unsolvable by algorithmic methods. It highlights significant findings from the past century, such as the undecidability of arithmetic and the unsolvability of the word problem in group theory, which many mathematicians regard as pivotal achievements. The discussion extends to the philosophical implications of these limitations, questioning the nature of mathematical creativity and the role of mathematics in shaping our understanding of the world. An introduction to algorithm theory is also provided.

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff.

Wir hören in dieser „Arbeitsgemeinschaft für Forschung“ oft Vorträge über ganz spezielle Themen, die nur von den Fachleuten völlig verstanden werden können, während die anderen Zuhörer kein eigenes Urteil über die Materie haben. Bei der Logik ist dies anders, denn eigentlich müßte jeder Fachmann sein: Jeder, der überhaupt mit irgendeiner Theorie arbeitet, bedient sich dabei der Logik. Jeder Wissenschaftler sollte daher etwas von der Logik verstehen. Um Mißverständnissen vorzubeugen, soll genauer gesagt werden, was hier mit „Logik“ und„ Theorie“ gemeint sein soll. Das. Wort „Logik“ wird heute oft in einem sehr weiten Sinn verwendet. Hier soll ausschließlich von formaler Logik die Rede sein. Wenn im folgenden von „Theorien“ gespro chen wird, so sind darunter fertige Theorien zu verstehen. Diese haben eine gewisse Struktur, sie sind in einer besonderen Weise aufgebaut. Für diesen Aufbau wollen wir uns interessieren. Ein interessantes, aber viel schwierigeres Problem ist es, zu ermitteln, wie man zu neuen Theorien kommt. Auch bei diesem Prozeß spielt die Logik eine wesentliche Rolle. Dies ist aber nicht Gegenstand dieses Vortrags. Schließlich soll betont werden, daß hier nicht die Grundlagen der Logik schlechthin diskutiert werden sollen. Es sollen nur die Aspekte heraus gehoben werden, welche es mit der dienenden Rolle der Logik beim Aufbau naturwissenschaftlicher Theorien zu tun haben.