Fritz Reutter Knihy

Die großen Fortschritte der technischen Entwicklung zwingen immer mehr dazu, bisher verwendete technische Berechnungsmethoden durch genauere mathematische Verfahren zu ersetzen. Das führt dazu, daß Funktionen, die bisher im wesentlichen von rein mathematischem Interesse waren, sehr an praktischer Bedeutung gewinnen. So sind z.B. in den letzten Jahren an der Technischen Hochschule in Aachen eine Reihe von Arbeiten über Einflußflächen von Platten polygonaler Berandung [1J entstanden, bei denen konforme Abbildungen mit Hilfe Jacobischer elliptischer Funktionen hergestellt werden mußten. Dieselben Funktionen treten u.a. auch auf bei der Berechnung elektrischer Filter und bei zahlreichen zweidimen­ sionalen Problemen der Elektrotechnik, der Strömungslehre und der Ela­ stizitätstheorie, die mit Hilfe der konformen Abbildung eines polygona­ len Bereiches auf die Halbebene oder den Einheitskreis behandelt werden. Die Berechnung der zur Konstruktion einer solchen konformen Abbildung benötigten zahlreichen Funktionswerte von elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments führt aber auch bei Verwendung der bekannten Tafeln [2J der Jacobischen Funktionen eines reellen Arguments zu einem sehr großen, sich oft über Jahre erstreckenden Rechenaufwand, sofern man sich nicht eines elektronischen Rechenautomaten bedienen kann.

Ebene kompressible Strömungen in der Nähe der Schallgeschwindigkeit, bekannt als transsonische Strömungen, wurden von zahlreichen Autoren untersucht. Das Literaturverzeichnis bietet eine Auswahl relevanter Arbeiten. Trotz dieser umfangreichen Forschung bleibt das Thema komplex, und die meisten vorhandenen Lösungen sind Näherungen oder nur für spezielle Probleme wie Düsenströmungen anwendbar. Die im Bericht dargestellten Untersuchungen zielen darauf ab, einen weiteren Beitrag zur Analyse solcher Strömungen zu leisten. Ein zentrales Ziel ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Berechnung einer Strömung bei gegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anströmung ermöglicht, bei der ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Herausforderung führt zu einem Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Obwohl die direkte Lösung solcher nichtlinearen Aufgaben in der Strömungsebene noch nicht allgemein möglich ist, gibt es Ansätze zur Behandlung in einer geeigneten Bildebene. Durch die Transformation der Strömungsebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand übergeht. Diese Transformation, die von TRICOMI beschrieben wurde, wird im Bericht kurz erläutert.

In einem früheren Forschungsbericht wurden die Ergebnisse von Untersuchungen zur numerischen Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme mit LIE-Reihen vorgestellt. Diese Methode erweist sich auch als nützlich für verschiedene andere mathematische Probleme. Dazu gehört die Anwendung zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Da Systeme partieller Differentialgleichungen über ihre Charakteristiken auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurückgeführt werden können, bietet sich die Methode auch für Anfangswertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen an. Der vorliegende Bericht behandelt zwei Anwendungen der LIE-Reihen-Methode auf unabhängige Problemkreise. Im ersten Teil wird die Methode zur direkten Behandlung von Randwertproblemen bei bestimmten linearen partiellen Differentialgleichungen erläutert, wobei die Entwicklung und numerische Erprobung am Beispiel der Grundgleichungen der Schalentheorie erfolgt. Im zweiten Teil wird auf eine Anwendung der LIE-Reihen zur Inversion von Funktionensystemen eingegangen, die von W. GRÖBNER vorgeschlagen wurde, und ein numerisches Verfahren zur Lösung beliebiger (nichtlinearer) Gleichungssysteme vorgestellt. Die im ersten Teil erforderlichen Annahmen und Gleichungen der Schalentheorie werden zuvor kurz erläutert.

InhaltsverzeichnisGliederung.- I. Darstellung eines Systems von zwei Funktionen zweier reeller Veränderlichen durch ein Fluchtliniennomogramri.- II. Darstellung von besonderen Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung durch ein Fluchtliniennomogramm.- III. Ermittlung der Funktionswerte von Ableitungen und unbestimmten Integralen elliptischer Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit Hilfe eines Fluchtliniennomogramms.- IV. Nomogramme als Hilfsmittel bei der Herstellung von konformen Abbildungen zur Lösung von Randwertproblemen der Potentialgleichung.- V. Einige Methoden zur Behandlung von speziellen Randwertproblemen bei Systemen von zwei linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- VI. Abschließende Bemerkungen.- Zusammenfassung.

Inhaltsverzeichnis7.I: Darlegung der Methode der Lie-Reihen und Ausbau für die numerische Rechnung.II: Anwendung in der Himmelsmechanik.III: Vergleich mit einigen anderen Methoden zur numerischen Behandlung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen.Zusammenfassung.

InhaltsverzeichnisGliederung.I. Abbildung einer linearen Strahlenkongruenz auf eine Ebene.II. Projektive Eigenschaften der Bildflächen von Kegelschnitten.III. Differentialgeometrische Eigenschaften der Bildflächen von Kegelschnitten.IV. Allgemeine Aussagen über die Bildflächenbüschel von Kegelschnittbüscheln.V. Diskussion der Bildflächenbüschel einiger spezieller Kegelschnittbüschel.VI. Betragflächen elliptischer Funktionen.Zusammenfassung.Abbildungen.

In früheren Forschungsberichten wurde die nomographische Darstellung von Funktionen einer komplexen Variablen, insbesondere elliptischen Funktionen, sowie von Systemen zweier Funktionen zweier reeller Variablen behandelt. Der vorliegende Bericht steht in engem Zusammenhang mit diesen Untersuchungen. Kapitel I behandelt theoretische Fragen der Nomographie, die bislang ungeklärt waren, und bietet auch Erkenntnisse zum Eindeutigkeitsproblem der Nomographie. Die elektronische Berechnung der in den vorherigen Berichten beschriebenen Nomogramme führte zu Überlegungen zur effizienten Berechnung der Funktionswerte elliptischer Funktionen reeller Variablen mit elektronischen Geräten. In Kapitel II wird ein solches Verfahren für beliebige Werte des Moduls k² entwickelt. Da die Jacobischen elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments aufgrund der Additionstheoreme aus den Funktionen eines reellen Arguments abgeleitet werden können, ermöglicht das in Kapitel II beschriebene Verfahren auch die Erstellung von Tafeln Jacobischer Funktionen eines komplexen Arguments. Die notwendigen Überlegungen hierzu werden in Kapitel III dargelegt. Ein erstelltes Tafelwerk steht Interessierten zur Verfügung. Um den Umfang der Tafeln zu minimieren und gleichzeitig eine präzise Bestimmung der Funktionswerte zu gewährleisten, wurden verschiedene Schrittweiten gewählt, die sowohl für lineare als auch für andere Berechnungen geeignet sind.

InhaltsverzeichnisI. Die Gleichgewichtsbedingungen des momentenfreien Spannungszustandes.II. Lösungen der speziellen Flächenklassen zugehörigen Differentialgleichungen des Membranspannungszustandes mit konstanten Koeffizienten.III. Anwendungen in der Membrantheorie der Flächen zweiter Ordnung.Zusammenfassung.